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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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8. Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones
a) x7+3x5+2x+1=0x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0

Respuesta

Como vimos en los ejemplos en clase, para responder esta pregunta vamos a definir:

f(x)=x7+3x5+2x+1f(x) = x^{7}+3 x^{5}+2 x+1

y hacemos un análisis completo de esta función. Una vez que tengamos el gráfico aproximado vamos a poder responder la pregunta que nos hace el enunciado. 

Seguimos con la misma estructura que venimos usando.
1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x7+3x5+2x+1=+∞\lim_{x \to +\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = +\infty 

lim⁡x→−∞x7+3x5+2x+1=−∞\lim_{x \to -\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = -\infty   3) Calculamos f′(x)f'(x):
f′(x)=7x6+15x4+2 f'(x) = 7x^{6} + 15x^{4} + 2  
  4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

7x6+15x4+2=0 7x^{6} + 15x^{4} + 2 = 0 

Fijate que, como xx siempre está elevado a potencia par, esta expresión nunca nunca puede valer cero. Por lo tanto, ff no tiene puntos críticos. 

Y además, veamos que f′(x)f'(x) es siempre positiva, por lo tanto, ff es siempre creciente.  

Entonces, el gráfico de ff nos queda así:

2024-04-20%2010:20:38_2969969.png

Y ahora, mirando el gráfico, vemos que x7+3x5+2x+1=0x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0 tiene una única solución.
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Fernando
22 de mayo 23:06
En este ejercicio recorde a bolzano y pude encontrar entre el intervalo de x (-1,0) una solucion :) .
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 9:45
@Fernando Muy bieeeen! Igual tranqui que si vos estás haciendo este ejercicio en el parcial y venis medio corto de tiempo, tranquilamente podés no marcar donde corta al eje xx exactamente... total fijate que la pregunta de cuántas soluciones había la podíamos responder igual :)
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 19:03
el lim de cuando x tiende a menos infinito de f(x), no queda como indeterminacion infinito menos infinito?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 21:28
@Benjamin Veo que esto te volvió loco practicando hoy jajaja... creo que fue de lo primero que te respondí hoy, porfa avisame si esto queda claro!
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:23
sisis, ya me esta quedando claro ahora jaja, pasa que como no estaba indicado en la resolucion pense que habia algo mal pero no
0 Responder